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Enem 2019. Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.
De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por
A) ${C_{12}}^4.{C_{12}}^3.{C_{12}}^3.{C_{12}}^2$
B) ${C_{12}}^4+{C_8}^3+{C_5}^3+{C_2}^2$
C) ${C_{12}}^4.2.{C_8}^3.{C_5}^2$
D) ${C_{12}}^4+2.{C_{12}}^3+{C_{12}}^2$
E) ${C_{12}}^4.{C_8}^3.{C_5}^3.{C_2}^2$
Solução:
Essa questão envolve conhecimentos de Combinatorial Analysis.
Dos 12 vagões, 4 serão vermelhos. Podemos escolher os vagões que serão vermelhos de ${C_{12}}^4$ maneiras diferentes.
Uma vez escolhidos os vagões vermelhos, restarão 8 vagões, dos quais 3 serão azuis. Podemos escolher os vagões que serão azuis de ${C_{8}}^3$ maneiras diferentes.
Uma vez escolhidos os vagões azuis, restarão 5 vagões, dos quais 3 serão verdes. Podemos escolher os vagões que serão verdes de ${C_{5}}^3$ maneiras diferentes.
Uma vez escolhidos os vagões verdes, restarão apenas 2 vagões, que serão amarelos. Podemos escolher os vagões que serão amarelos de ${C_{2}}^2$ maneiras diferentes.
Assim, os 12 vagões podem ser pintados de ${C_{12}}^4.{C_8}^3.{C_5}^3.{C_2}^2$ maneiras diferentes.
Resposta: Alternativa E.
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Enem 2018 Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.
Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:
• Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
• Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
• Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;
• Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas.
A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas:
• Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
• Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C;
• Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.
Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Solução:
Vejamos as probabilidades em cada uma das opções de se retirar duas bolas pretas sucessivamente.
Opção 1:
$P_1=\frac{2}{6}.\frac{1}{5}=\frac{1}{15}$
Opção 2:
$P_2=\frac{3}{10}.\frac{2}{9}=\frac{1}{15}$
Opção 3:
Há 50% de chance de a bola transferida de C para A se preta; 50%, verde.
Se transferida for preta: $\frac{3}{7}.\frac{2}{6}=\frac{1}{7}$
Se transferida for verde: $\frac{2}{7}.\frac{1}{6}=\frac{1}{21}$
Combinando as duas possibilidades:
$P_3=0,50.\frac{1}{7}+0,50.\frac{1}{21}=\frac{1}{14}+\frac{1}{42}=\frac{2}{21}$
Opção 4:
Há 50% de chance de a bola transferida de D para C se preta; 50%, branca.
Se transferida for preta: $\frac{3}{5}.\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$
Se transferida for branca: $\frac{2}{5}.\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$
Combinando as duas possibilidades:
$P_4=0,50.\frac{3}{10}+0,50.\frac{1}{10}=\frac{3}{20}+\frac{1}{20}=\frac{1}{5}$
Opção 5:
Há 50% de chance de a bola transferida de C para D se preta; 50%, verde.
Se transferida for preta: $\frac{4}{7}.\frac{3}{6}=\frac{6}{21}$
Se transferida for verde: $\frac{3}{7}.\frac{2}{6}=\frac{3}{21}$
Combinando as duas possibilidades:
$P_5=0,50.\frac{6}{21}+0,50.\frac{3}{21}=\frac{6}{42}+\frac{3}{42}=\frac{3}{14}$
Resposta: Alternativa e)
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Enem 2018 O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes expõem seus modelos mais recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inovações em design e tecnologia.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado).
Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na região central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete.
Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que serão expostos. A posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante.
Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos é
a) $A_{10}^{4}$
b) $C_{10}^{4}$
c) $C_{4}^{2}$ x $C_{6}^{2}$ x 2 x 2
d) $A_{4}^{2}$ x $A_{6}^{2}$ x 2 x 2
e) $C_{4}^{2}$ x $C_{6}^{2}$
Solução:
O número de combinações diferentes que temos para escolher os compactos 2 a 2 é $C_{4}^{2}$.
Para cada conjunto de dois compactos escolhidos, temos duas formas de distribuí-los nos estandes: o primeiro na Entrada, o outro no Centro; ou o oposto.
Assim o número de maneiras diferentes de distribuir os compactos é $C_{4}^{2}$ x 2.
O número de combinações diferentes que temos para escolher as caminhonetes 2 a 2 é $C_{6}^{2}$.
Para cada conjunto de duas caminhonetes escolhidas, temos duas formas de distribuí-las nos estandes: a primeira na Entrada, a outra no Centro; ou o oposto.
Assim o número de maneiras diferentes de distribuir as caminhonetes é $C_{6}^{2}$ x 2.
Combinando esses resultados, a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos é:
$C_{4}^{2}$ x 2 x $C_{6}^{2}$ x 2.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado).
Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na região central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete.
Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que serão expostos. A posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante.
Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos é
a) $A_{10}^{4}$
b) $C_{10}^{4}$
c) $C_{4}^{2}$ x $C_{6}^{2}$ x 2 x 2
d) $A_{4}^{2}$ x $A_{6}^{2}$ x 2 x 2
e) $C_{4}^{2}$ x $C_{6}^{2}$
Solução:
O número de combinações diferentes que temos para escolher os compactos 2 a 2 é $C_{4}^{2}$.
Para cada conjunto de dois compactos escolhidos, temos duas formas de distribuí-los nos estandes: o primeiro na Entrada, o outro no Centro; ou o oposto.
Assim o número de maneiras diferentes de distribuir os compactos é $C_{4}^{2}$ x 2.
O número de combinações diferentes que temos para escolher as caminhonetes 2 a 2 é $C_{6}^{2}$.
Para cada conjunto de duas caminhonetes escolhidas, temos duas formas de distribuí-las nos estandes: a primeira na Entrada, a outra no Centro; ou o oposto.
Assim o número de maneiras diferentes de distribuir as caminhonetes é $C_{6}^{2}$ x 2.
Combinando esses resultados, a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos é:
$C_{4}^{2}$ x 2 x $C_{6}^{2}$ x 2.
Resposta: Alternativa c)
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