Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.
Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é
a) 30.
b) 40.
c) 45.
d) 60.
e) 68.
Solução:
Essa questão envolve os teoremas das bissetrizes interna e externa e os conceitos de ângulo central e inscrito em uma circunferência.
Considere a figura a seguir:
O fogo está nos pontos A e B, 30m de distância um do outro. Trançando-se uma linha entre esse dois pontos, podemos posicionar um dos bombeiros ($b_1$) 10m de distância de B, e 20m de distância de A.
Vamos posicionar o outro bombeiro num ponto qualquer $b_2$, "d" metros de distância de B, "2d" metros de distância de A.
Temos assim o triângulo $Ab_2B$. A bissetriz interna (linha vermelha) desse triângulo passa pelo ponto $b_1$ (porque pelo teorema da bissetriz interna, como um lado é o dobro do outro, a bissetriz interna vai cruzar o lado oposto dividindo-o na razão 2:1, exatamente onde está o bombeiro $b_1$.
A bissetriz externa (linha vermelha) desse triângulo passa pelo ponto C, 30m de distância de B (porque pelo teorema da bissetriz externa, como um lado é o dobro do outro, a bissetriz externa vai cruzar a extensão do lado oposto em um ponto igual à distância entre A e B).
Observe que o triângulo formado pelas bissetrizes ($b_1b_2C$) é um triângulo retângulo (o ângulo entre as bissetrizes interna e externa é sempre 90º).
Esse triângulo pode ser inscrito em uma circunferência com centro no ponto O (quando um triângulo retângulo é inscrito em uma circunferência, a hipotenusa é o diâmetro da mesma). Assim, temos que os dois bombeiros ($b_1$ e $b_2$) estão sempre posicionados sobre essa circunferência, e a maior distância entre eles é o diâmetro dela: 40m.
Resposta: Alternativa b)
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