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Enem 2018 Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n x n, com $n\geq2$, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 x 8.
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 1/5.
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é
a) 4 x 4.
b) 6 x 6.
c) 9 x 9.
d) 10 x 10.
e) 11 x 11.
Solução:
Essa questão envolve conhecimentos de Probabilidade e de Equação do 2º Grau.
Ao escolher uma casa, a linha e a coluna correspondente viram zona de combate (exceto a própria casa escolhida). Se o tabuleiro tiver "n" linhas e "n" colunas, a zona de combate corresponderá a um total de (n-1)+(n-1)=2n-2 casas.
O número total de casas disponíveis para o segundo jogador é n² -1 (todas as casas menos a já tomada pelo primeiro jogador).
Assim a probabilidade de de se posicionar a segunda peça sobre a zona de combate da primeira é:
$P=\frac{2n-2}{n^2-1}$, que deve ser inferior a 1/5. Então,
$\frac{2n-2}{n^2-1}<\frac{1}{5}$
$5.(2n-2)<n^2-1$
$n^2-10n+9>0$
$\Delta=100-36=64$, então
$n>9$, ou $n<1$
Como o enunciado estabelece que $n\geq2$, então a única resposta possível é $n>9$, ou seja, 10x10.
Resposta: Alternativa d)
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Enem 2018 O gerente do setor de recursos humanos de uma empresa está organizando uma avaliação em que uma das etapas é um jogo de perguntas e respostas. Para essa etapa, ele classificou as perguntas, pelo nível de dificuldade, em fácil, médio e difícil, e escreveu cada pergunta em cartões para colocação em uma urna.
Contudo, após depositar vinte perguntas de diferentes níveis na urna, ele observou que 25% delas eram de nível fácil. Querendo que as perguntas de nível fácil sejam a maioria, o gerente decidiu acrescentar mais perguntas de nível fácil à urna, de modo que a probabilidade de o primeiro participante retirar, aleatoriamente, uma pergunta de nível fácil seja de 75%.
Com essas informações, a quantidade de perguntas de nível fácil que o gerente deve acrescentar à urna é igual a
a) 10.
b) 15.
c) 35.
d) 40.
e) 45.
Solução:
Essa questão envolve conhecimentos de Probabilidade.
Após 20 perguntas colocadas na urna, 25% (5 perguntas) eram fáceis. Logo, 15 perguntas eram médias ou difíceis.
Após colocar mais perguntas fáceis, a urna terá X perguntas ao todo, com 75% delas fáceis e 25% médias ou difíceis. Ou seja,
$0,25.X=15$
$X=60$
Então no final, teremos na urna 15 perguntas médias ou difíceis e 45 perguntas fáceis. Como o gerente já havia colocado 5 perguntas fáceis, ele teve que acrescentar 40.
Resposta: Alternativa d)
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Enem 2018 Os alunos da disciplina de estatística, em um curso universitário, realizam quatro avaliações por semestre com os pesos de 20%, 10%, 30% e 40%, respectivamente.
No final do semestre, precisam obter uma média nas quatro avaliações de, no mínimo, 60 pontos para serem aprovados. Um estudante dessa disciplina obteve os seguintes pontos nas três primeiras avaliações: 46, 60 e 50, respectivamente.
O mínimo de pontos que esse estudante precisa obter na quarta avaliação para ser aprovado é
a) 29,8.
b) 71,0.
c) 74,5.
d) 75,5.
e) 84,0.
Solução:
Essa questão envolve conhecimentos de Média Ponderada.
Média Aritmética Ponderada = $\frac{x1.p1+x2.p2+....+xn.pn}{p1+p2+....+pn}$
$60=\frac{46.0,20+60.0,10+50.0,30+x.0,40}{0,20+0,10+0,30+0,40}$
$60=\frac{9,2+6+15+x.0,4}{1}$
$60=30,2+x.0,4$
$0,4x=29,8$
$x=74,5$
Resposta: Alternativa c)
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Enem 2018 A Comissão Interna de Prevenção de Acidentes (CIPA) de uma empresa, observando os altos custos com os frequentes acidentes de trabalho ocorridos, fez, a pedido da diretoria, uma pesquisa do número de acidentes sofridos por funcionários. Essa pesquisa, realizada com uma amostra de 100 funcionários, norteará as ações da empresa na política de segurança no trabalho.
Os resultados obtidos estão no quadro.
A média do número de acidentes por funcionário na amostra que a CIPA apresentará à diretoria da empresa é
a) 0,15.
b) 0,30.
c) 0,50.
d) 1,11.
e) 2,22.
Solução:
a) 0,15.
b) 0,30.
c) 0,50.
d) 1,11.
e) 2,22.
Solução:
Essa questão envolve conhecimentos de Médias.
A média do número de acidentes por funcionário na amostra que a CIPA apresentará à diretoria da empresa será dada pela razão entre o número total de acidentes e no número total de funcionários.
Para obtermos o número total de acidentes basta multiplicar o número de acidentes sofridos pelo número de funcionários em cada linha da tabela dada:
Acidentes = 0.50+1.17+2.15+3.10+4.6+5.2
Acidentes = 0+17+30+30+24+10 = 111
E número total de funcionários é:
Funcionários = 50+17+15+10+6+2 = 100
Portanto a Média será:
Acidentes / Funcionários = 111/100 = 1,11
Resposta: Alternativa d)
A média do número de acidentes por funcionário na amostra que a CIPA apresentará à diretoria da empresa será dada pela razão entre o número total de acidentes e no número total de funcionários.
Para obtermos o número total de acidentes basta multiplicar o número de acidentes sofridos pelo número de funcionários em cada linha da tabela dada:
Acidentes = 0.50+1.17+2.15+3.10+4.6+5.2
Acidentes = 0+17+30+30+24+10 = 111
E número total de funcionários é:
Funcionários = 50+17+15+10+6+2 = 100
Portanto a Média será:
Acidentes / Funcionários = 111/100 = 1,11
Resposta: Alternativa d)
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Enem 2018 De acordo com um relatório recente da Agência Internacional de Energia (AIE), o mercado de veículos elétricos atingiu um novo marco em 2016, quando foram vendidos mais de 750 mil automóveis da categoria. Com isso, o total de carros elétricos vendidos no mundo alcançou a marca de 2 milhões de unidades desde que os primeiros modelos começaram a ser comercializados em 2011. No Brasil, a expansão das vendas também se verifica. A marca A, por exemplo, expandiu suas vendas no ano de 2016, superando em 360 unidades as vendas de 2015, conforme representado no gráfico.
A média anual do número de carros vendidos pela marca A, nos anos representados no gráfico, foi de
a) 192.
b) 240.
c) 252.
d) 320.
e) 420.
Solução:
a) 192.
b) 240.
c) 252.
d) 320.
e) 420.
Solução:
As vendas em 2016 superaram as vendas em 2015 em 360 veículos. Esse acréscimo está representado no gráfico pelo desenho de 3 carros. Então cada carro desenhado no gráfico representa 120 veículos vendidos. Assim temos:
Vendas 2014: 120 veículos;
Vendas 2015: 240 veículos;
Vendas 2016: 600 veículos.
O total de vendas em 3 anos foi de 960 veículos (120+240+600). A média anual é de 320 veículos vendidos.
Resposta: Alternativa d)
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Enem 2018 A raiva é uma doença viral e infecciosa, transmitida por mamíferos. A campanha nacional de vacinação antirrábica tem o objetivo de controlar a circulação do vírus da raiva canina e felina, prevenindo a raiva humana. O gráfico mostra a cobertura (porcentagem de vacinados) da campanha, em cães, nos anos de 2013, 2015 e 2017, no município de Belo Horizonte, em Minas Gerais. Os valores das coberturas dos anos de 2014 e 2016 não estão informados no gráfico e deseja-se estimá-los. Para tal, levou-se em consideração que a variação na cobertura de vacinação da campanha antirrábica, nos períodos de 2013 a 2015 e de 2015 a 2017, deu-se de forma linear.
Vendas 2014: 120 veículos;
Vendas 2015: 240 veículos;
Vendas 2016: 600 veículos.
O total de vendas em 3 anos foi de 960 veículos (120+240+600). A média anual é de 320 veículos vendidos.
Resposta: Alternativa d)
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Enem 2018 A raiva é uma doença viral e infecciosa, transmitida por mamíferos. A campanha nacional de vacinação antirrábica tem o objetivo de controlar a circulação do vírus da raiva canina e felina, prevenindo a raiva humana. O gráfico mostra a cobertura (porcentagem de vacinados) da campanha, em cães, nos anos de 2013, 2015 e 2017, no município de Belo Horizonte, em Minas Gerais. Os valores das coberturas dos anos de 2014 e 2016 não estão informados no gráfico e deseja-se estimá-los. Para tal, levou-se em consideração que a variação na cobertura de vacinação da campanha antirrábica, nos períodos de 2013 a 2015 e de 2015 a 2017, deu-se de forma linear.
Qual teria sido a cobertura dessa campanha no ano de 2014?
a) 62,3%
b) 63,0%
c) 63,5%
d) 64,0%
e) 65,5%
Solução:
a) 62,3%
b) 63,0%
c) 63,5%
d) 64,0%
e) 65,5%
Solução:
Como o gráfico é linear, e 2014 estará exatamente na metade entre 2013 e 2015, o percentual em 2014 será a média dos valores em 2013 e 2015. Ou seja:
$R_{2014}=\frac{67+59}{2}$
$R_{2014}=\frac{126}{2}$
$R_{2014}=63$%
Resposta: Alternativa b)
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Enem 2018 Um produtor de milho utiliza uma área de 160 hectares para as suas atividades agrícolas. Essa área é dividida em duas partes: uma de 40 hectares, com maior produtividade, e outra, de 120 hectares, com menor produtividade. A produtividade é dada pela razão entre a produção, em tonelada, e a área cultivada. Sabe-se que a área de 40 hectares tem produtividade igual a 2,5 vezes à
da outra. Esse fazendeiro pretende aumentar sua produção total em 15%, aumentando o tamanho da sua propriedade. Para tanto, pretende comprar uma parte de uma fazenda vizinha, que possui a mesma produtividade da parte de 120 hectares de suas terras.
Qual é a área mínima, em hectare, em que o produtor precisará comprar?
a) 36
b) 33
c) 27
d) 24
e) 21
$R_{2014}=\frac{67+59}{2}$
$R_{2014}=\frac{126}{2}$
$R_{2014}=63$%
Resposta: Alternativa b)
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Enem 2018 Um produtor de milho utiliza uma área de 160 hectares para as suas atividades agrícolas. Essa área é dividida em duas partes: uma de 40 hectares, com maior produtividade, e outra, de 120 hectares, com menor produtividade. A produtividade é dada pela razão entre a produção, em tonelada, e a área cultivada. Sabe-se que a área de 40 hectares tem produtividade igual a 2,5 vezes à
da outra. Esse fazendeiro pretende aumentar sua produção total em 15%, aumentando o tamanho da sua propriedade. Para tanto, pretende comprar uma parte de uma fazenda vizinha, que possui a mesma produtividade da parte de 120 hectares de suas terras.
Qual é a área mínima, em hectare, em que o produtor precisará comprar?
a) 36
b) 33
c) 27
d) 24
e) 21
Solução:
A produção de cada área é dada pela multiplicação de sua produtividade pela área. Seja:
p: produtividade da área de menor produtividade;
Produção Área 1= 120.p
2,5p: produtividade da área de maior produtividade;
Produção Área 2= 40.2,5p=100p
Então a produção total inicial será de:
Produção Inicial=120p+100.p=220p
O fazendeiro comprará uma nova área (A) de baixa produtividade (p). A nova produção será:
Produção Final= 220p+A.p
Como o aumento de produção será de 15%:
Produção Final=(Produção Inicial).1,15
220p+A.p=(220p).1,15
220+A=220.1,15
A=220.1,15-220
A=33
Resposta: Alternativa b)
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Enem 2018 Um rapaz estuda em uma escola que fica longe de sua casa, e por isso precisa utilizar o transporte público. Como é muito observador, todos os dias ele anota a hora exata (sem considerar os segundos) em que o ônibus passa pelo ponto de espera. Também notou que nunca consegue chegar ao ponto de ônibus antes de 6h 15 min da manhã. Analisando os dados coletados durante o mês de fevereiro, o qual teve 21 dias letivos, ele concluiu que 6 h 21 min foi o que mais se repetiu, e que a mediana do conjunto de dados é 6 h 22 min.
A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de 6 h 21 min da manhã é, no máximo,
a) 4/21
b) 5/21
c) 6/21
d) 7/21
e) 8/21
p: produtividade da área de menor produtividade;
Produção Área 1= 120.p
2,5p: produtividade da área de maior produtividade;
Produção Área 2= 40.2,5p=100p
Então a produção total inicial será de:
Produção Inicial=120p+100.p=220p
O fazendeiro comprará uma nova área (A) de baixa produtividade (p). A nova produção será:
Produção Final= 220p+A.p
Como o aumento de produção será de 15%:
Produção Final=(Produção Inicial).1,15
220p+A.p=(220p).1,15
220+A=220.1,15
A=220.1,15-220
A=33
Resposta: Alternativa b)
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Enem 2018 Um rapaz estuda em uma escola que fica longe de sua casa, e por isso precisa utilizar o transporte público. Como é muito observador, todos os dias ele anota a hora exata (sem considerar os segundos) em que o ônibus passa pelo ponto de espera. Também notou que nunca consegue chegar ao ponto de ônibus antes de 6h 15 min da manhã. Analisando os dados coletados durante o mês de fevereiro, o qual teve 21 dias letivos, ele concluiu que 6 h 21 min foi o que mais se repetiu, e que a mediana do conjunto de dados é 6 h 22 min.
A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de 6 h 21 min da manhã é, no máximo,
a) 4/21
b) 5/21
c) 6/21
d) 7/21
e) 8/21
Solução:
Quando ordenamos um conjunto de números em ordem crescente de valor, a Mediana desse conjunto é o número que aparece na posição central (se houver um número ímpar de valores no conjunto), ou a média dos dois números nas posições centrais (se houver um número par de valores no conjunto).
A Moda de um conjunto de números é o valor que aparece com maior frequência.
Nessa questão do Enem, a mediana é 6h22. Então teremos 10 medições acima desse horário e 10 abaixo, de forma que o total de medições seja 21.
Entre 6h15 e 6h20 existem 6 valores possíveis (6h15, 6h16, 6h17, 6h18, 6h19 e 6h20).
Assim uma possibilidade é que tenhamos 6 valores entre 6h15 e 6h20, e 4 valores 6h21 (a moda). Nesse caso a probabilidade de esse rapaz ter apanhado o ônibus antes de 6h21 é de 6/21.
Outra possibilidade é que tenhamos 7 valores entre 6h15 e 6h20 (porque um desses valores apareceu duas vezes), e 3 valores 6h21 (a moda). Nesse caso a probabilidade de esse rapaz ter apanhado o ônibus antes de 6h21 é de 7/21.
Outra possibilidade é que tenhamos 8 valores entre 6h15 e 6h20 (dois desses valores apareceu duas vezes, ou um desses valores apareceu três vezes), e 2 valores 6h21. Esse caso não atende mais as condições postas na questão, uma vez que 6h21 não seria mais a moda.
Assim a probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de 6h21 é, no máximo, 7/21.
Resposta: Alternativa d)
A Moda de um conjunto de números é o valor que aparece com maior frequência.
Nessa questão do Enem, a mediana é 6h22. Então teremos 10 medições acima desse horário e 10 abaixo, de forma que o total de medições seja 21.
Entre 6h15 e 6h20 existem 6 valores possíveis (6h15, 6h16, 6h17, 6h18, 6h19 e 6h20).
Assim uma possibilidade é que tenhamos 6 valores entre 6h15 e 6h20, e 4 valores 6h21 (a moda). Nesse caso a probabilidade de esse rapaz ter apanhado o ônibus antes de 6h21 é de 6/21.
Outra possibilidade é que tenhamos 7 valores entre 6h15 e 6h20 (porque um desses valores apareceu duas vezes), e 3 valores 6h21 (a moda). Nesse caso a probabilidade de esse rapaz ter apanhado o ônibus antes de 6h21 é de 7/21.
Outra possibilidade é que tenhamos 8 valores entre 6h15 e 6h20 (dois desses valores apareceu duas vezes, ou um desses valores apareceu três vezes), e 2 valores 6h21. Esse caso não atende mais as condições postas na questão, uma vez que 6h21 não seria mais a moda.
Assim a probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de 6h21 é, no máximo, 7/21.
Resposta: Alternativa d)
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