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Enem 2018 Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, separadas por ângulos de $\frac{\pi}{6}$ rad, conforme a figura.
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0;0).
Considere o valor de π com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.
Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a:
a) $\frac{2.\pi.1}{3}+8$
b) $\frac{2.\pi.2}{3}+6$
c) $\frac{2.\pi.3}{3}+4$
d) $\frac{2.\pi.4}{3}+2$
e) $\frac{2.\pi.5}{3}+2$
Solução:
Essa questão envolve conhecimentos de Ângulos.
O comprimento de uma circunferência completa é dado pela fórmula $C=2.\pi.r$.
No caso em questão, do raio que passa por B ao raio que passa por A, há um terço de circunferência (120º). Portanto, o comprimento do arco percorrido será dado pela fórmula:
$C=\frac{2.\pi.r}{3}$
A pergunta que temos que responder é: é melhor percorrer o arco de circunferência que passa por B, ou é melhor descer em direção ao centro do sistema cartesiano para percorrer o menor arco possível?
Quando descemos uma unidade em direção ao centro, temos que subir essa unidade de volta depois em direção ao ponto A. Assim, quando descemos uma unidade de raio em direção ao centro, somamos duas unidades no percurso total.
Como $\pi$ é um valor maior do que 3, $\frac{2.\pi.r}{3}$ será maior do que $2.r$. Ou seja, quando descemos uma unidade de raio em direção ao centro do sistema cartesiano, o tamanho do arco de circunferência se reduz em mais de duas unidades.
Resumindo: quando descemos uma unidade em direção ao centro do sistema cartesiano, somamos 2 unidades de percurso ao longo dos raios, e reduzimos mais de duas unidades ao longo do arco de circunferência.
Então o caminho mais curto é ir em direção ao raio 1 (3 unidades), percorrer o arco de raio 1 ($\frac{2.\pi.1}{3}$ unidades), e subir de volta ao ponto A (5 unidades).
Resposta: Alternativa a)
O comprimento de uma circunferência completa é dado pela fórmula $C=2.\pi.r$.
No caso em questão, do raio que passa por B ao raio que passa por A, há um terço de circunferência (120º). Portanto, o comprimento do arco percorrido será dado pela fórmula:
$C=\frac{2.\pi.r}{3}$
A pergunta que temos que responder é: é melhor percorrer o arco de circunferência que passa por B, ou é melhor descer em direção ao centro do sistema cartesiano para percorrer o menor arco possível?
Quando descemos uma unidade em direção ao centro, temos que subir essa unidade de volta depois em direção ao ponto A. Assim, quando descemos uma unidade de raio em direção ao centro, somamos duas unidades no percurso total.
Como $\pi$ é um valor maior do que 3, $\frac{2.\pi.r}{3}$ será maior do que $2.r$. Ou seja, quando descemos uma unidade de raio em direção ao centro do sistema cartesiano, o tamanho do arco de circunferência se reduz em mais de duas unidades.
Resumindo: quando descemos uma unidade em direção ao centro do sistema cartesiano, somamos 2 unidades de percurso ao longo dos raios, e reduzimos mais de duas unidades ao longo do arco de circunferência.
Então o caminho mais curto é ir em direção ao raio 1 (3 unidades), percorrer o arco de raio 1 ($\frac{2.\pi.1}{3}$ unidades), e subir de volta ao ponto A (5 unidades).
Resposta: Alternativa a)
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